Alguns aspectos da análise matemática de equações de coagulação-fragmentação

• Author(s): Costa, Fernando Pestana da
• Date: 2009
• Persistent ID: http://hdl.handle.net/10400.2/1440
• Origin: Repositório Aberto da Universidade Aberta
• Subject(s): Matemática; Análise matemática; Provas de agregação; Equações diferenciais; Sistemas de coagulção-fragmentação; Equações de coagulação de Smoluchowski; Existência e unicidade de soluções; Comportamento assimptótico de soluções; Soluções autosemelhantes; Conservação de densidade; Gelificação; Differential equations; Coagulation-fragmentation systems; Smoluchowski’s coagulation equations; Existence and uniqueness of solutions; Asimptotic behaviour of solutions; Conservation and non-conservation of density; Gelation; Self-similar solutions
• Document Type: Lecture
• Language: Portuguese

Description

Lição de síntese apresentada à Universidade Aberta como parte dos requisitos para as provas de Agregação em Matemática. Numa primeira parte faz-se uma descrição dos tipos de equações de coagulação-fragmentação mais comuns nas literaturas matemática e científica, referindo-se alguns aspectos históricos considerados relevantes, bem como várias áreas de aplicações. Na segunda parte descrevem-se resultados matemáticos relativos a existência e unicidade de soluções de alguns destes sistemas, nomeadamente os sistemas discretos de Smoluchowski e de coagulação-fragmentação: começando com uma breve apresentação dos espaços funcionais utilizados, passam- se depois em revista os resultados sobre existència de soluções fornecendo-se uma descrição breve das ideias subjacentes às demonstrações. Esta parte termina com uma secção dedicada aos problemas de unicidade. Nas terceira e quarta partes descrevem-se diversos aspectos do comportamento de soluções. Focam-se com especial atenção questões sobre a convergência para equilíbrios a tempos longos, sobre o comportamento auto-semelhante de soluções e sobre a conservação, ou não conservação, de densidade. Todas estas questões, além da óbvia relevância matemática, têm também interpretações físicas de clara importância para as aplicações. In the first part we describe some of the most common types of coagulationfragmentation equations that occur in the mathematical and scientific literatures, with references to historical aspects and to applications. In the second part we describe mathematical results about existence and uniqueness of solutions to some of these systems, namely for the discrete systems of Smoluchowski and of coagulation-fragmentation: we start by a brief exposition of the relevant functional spaces, we then review the results about existence of solutions including a brief description of the ideas of the proofs. We finish this part with a section about uniqueness problems. In the third and fourth parts we review several aspects of the behaviour of solutions. We pay special attention to questions about long time convergence to equilibria, self similar behaviour of solutions, and conservation and nonconservation of density. All these problems, apart from their obvious mathematical importance, also have physical interpretations that are clearly important for the applications.