Author(s):
Louro, Andreia Marques Freitas 
Date: 2006
Persistent ID: http://hdl.handle.net/10773/5018
Origin: RIA - Repositório Institucional da Universidade de Aveiro
Subject(s): Matemática; Cálculo de variações; Equações de Lagrange; Computação matemática
Description
Ao longo desta disserta c~ao vamos explorar o sistema de computa c~ao
alg ebrica Maple 9.5, com a nalidade de identi car e ilustrar as suas
potencialidades e fraquezas na area do C alculo das Varia c~oes: uma ar ea
cl assica da Matem atica que estuda os m etodos que permitem encontrar
valores m aximos e min mos de funcionais do tipo integral. Come camos
por formular o problema elementar do C alculo das Varia c~oes e por apresentar
a resolu c~ao de diversos problemas solucionados pela aplica c~ao das
condi c~oes necess arias de Euler-Lagrange. Parte dos problemas variacionais
s~ao normalmente resolvidos por recurso a estas condi c~oes, que s~ao, em geral,
equa c~oes diferenciais de segunda ordem, n~ao lineares e de dif cil resolu c~ao.
De seguida, determinamos a funcional integral para o problema cl assico da
Braquist ocrona e, depois de apresentarmos a formula c~ao matem atica para
o mesmo, mostramos como o podemos resolver sob o ponto de vista da
teoria do C aculo das Varia c~oes e do Maple. A extremal para o problema
da Braquist ocrona ser a apresentada na forma param etrica e ser a calculado
o tempo de descida min mo para a curva encontrada. Finalmente,
reformulamos o problema cl assico da Braquist ocrona restringindo a classe
das fun c~oes admiss veis e veri camos que, apesar do problema ter cerca
de trezentos anos, existem quest~oes sobre a Braquist ocrona para as quais
parece, ainda, n~ao haver resposta. Along this dissertation we are going to explore the computer algebra system
Maple 9.5, with the purpose of identify and illustrate its potentialities and
weaknesses in the area of the Calculus of Variations: a classical mathematical
area which studies the methods to get the maximum and minimum
values of integral functionals. We start by formulate the elementary problem
of Calculus of Variations and by presenting the resolutions of some
problems solved using the Euler-Lagrange necessary conditions. Most part
of variational problems are usually solved with the help of this conditions,
which are, in general, second order di erential equations, nonlinear and
hard to solve. After we determinate the integral functional for the classical
Brachistochrone problem and, after we present its mathematical formulation,
we show how we can solve it by the point of view of the Calculus of
Variations and using Maple. The extremal for Brachistochrone problem will
be presented in the parametric form and the minimum time of descent for
such curve will be calculated. Finally, we reformulate the Brachistochrone
classical problem by restricting the class of admissible curves noticing that,
although the problem is three hundred years old, there are questions about
Brachistochrone for which answers seems to be unknown. Mestrado em Matemática
