Author(s):
Aleixo, Sandra Maria da Silva Figueiredo, 1968- 
Date: 2007
Persistent ID: http://hdl.handle.net/10451/1582
Origin: Repositório da Universidade de Lisboa
Subject(s): Estatística e investigação operacional; Probabilidades e estatística; Teses de doutoramento - 2008
Description
Tese de doutoramento em Estatística e Investigação Operacional (Probabilidade e Estatística), apresentada à Universidade de Lisboa através da Faculdade de Ciências, 2008 Deduzimos modelos de crescimento populacional proporcionais a densidades beta com parâmetros de forma p e 2, onde p ¸ 1, cuja complexidade dinâmica está relacionada com o parâmetro malthusiano r. Usando técnicas de dinâmica simbólica, investigámos o comportamento caótico destes modelos, em termos de entropia topológica, no espaço de parâmetros (r; p), identificando diferentes comportamentos dinâmicos. Verificámos a universalidade da constante de Feigenbaum nos modelos apresentados, usando uma fórmula diferente daquela que é usualmente apresentada na literatura. O efeito de Allee foi analisado nestes modelos. Para p > 2, eles exibem uma dinâmica populacional onde o efeito de Allee surge naturalmente. No entanto, no caso onde 1 < p 2, os modelos propostos não incluem este efeito. Para invocá-lo, apresentámos alguns modelos alternativos e investigámos as suas dinâmicas. Analisámos também a negatividade da derivada de Schwarz em todos os modelos propostos. Definimos poeira de Cantor aleatória, um fractal obtido por eliminação recursiva do espaçamento central que é definido entre o mínimo e máximo de duas observações aleatórias uniformemente distribuídas, de cada intervalo da iteração anterior. A designação atribuída ao fractal é justificável, uma vez que os valores esperados dos extremos dos intervalos de cada iteração, coincidem com os extremos dos intervalos da correspondente iteração na construção da poeira de Cantor determinista. Calculámos a dimensão de Hausdorff (que intuitivamente avalia a que ponto um conjunto é denso) da poeira de Cantor aleatória, e verificámos que apesar de a poeira de Cantor ser o fractal médio da poeira de Cantor aleatória, é mais denso (a dimensão de Hausdorff da poeira de Cantor C é superior dimensão de Hausdorff da poeira de Cantor aleatória FU). Este resultado levou-nos a uma definição mais geral de conjuntos de Cantor aleatórios FX com X _ Beta(p; q), ao cálculo das suas dimensões de Hausdor, e das dimensões de Hausdor dos fractais deterministas que são a esperança daqueles fractais aleatórios, num sentido similar ao de a poeira de Cantor determinista ser a esperança da poeira de Cantor aleatória. O fenómeno é geral, e para essa diferença entre dimensões de Hausdor encontrámos uma explicação probabilista que reforça a interpretação de dimensão de Hausdor como reveladora da abundância de pontos do fractal. Populational growth models, proportional to beta densities with shape parameters p and2, where p ¸ 1, whose dynamical complexity is related with the malthusean parameter r, are investigated. Using dynamical symbolic techniques, we examine the chaotic behaviour of these models, in terms of topological entropy, in the parameter plane (r; p), identifying different dynamical behaviours. We verify the universality of the Feigenbaum constant in the presented models, using a new formula. The Allee effect is analyzed in these models. For p > 2, they exhibit a population dynamics with natural Allee effect. However, in the case where 1 < p 2, the proposed models do not include this effect. In order to invoke it, we present some alternative models and investigate their dynamics. We also analyze the negativity of the Schwarz derivative in all the models proposed. We define random middle third Cantor set, a fractal obtained by recursive elimination of the central spacing which is defined between the minimum and the maximum of two random observations uniformly distributed, from each interval of the previous iteration The designation attached to the fractal is justified, since the expected values of the extremes of the intervals of each iteration are the endpoints of the correspondent iteration in the deterministic middle third Cantor set. We calculate the Hausdorff dimension (that intuitively evaluates how dense a set is) of the random middle third Cantor set, and we verify that although the middle third Cantor set is the expectation of the random middle third Cantor set, it is more dense than the one obtained stochastically. This result lead us to define more generally random Cantor sets FX with X _ Beta(p; q), to compute their Hausdorff dimensions, and to compute the Hausdorff dimensions of the deterministic fractals which are the expected values of those random fractals, in a similiar sense to the one that the deterministic middle third Cantor set is the expected value of random middle third Cantor set. The phenomenon is general, and we hint it's probabilistic explanation.
