Geometrias não euclidianas

• Author(s): Rosa, António Pereira
• Date: 2010
• Persistent ID: http://hdl.handle.net/10451/1265
• Origin: Repositório da Universidade de Lisboa
• Subject(s): Geometria não euclidiana; Geometria projectiva; Geometria elíptica; Geometria hiperbólica; Teses de mestrado
• Document Type: Master Thesis
• Advisor(s): Freitas, Pedro Jorge

Description

Tese de mestrado em Matemática para o ensino, apresentada à Universidade de Lisboa, através da Faculdade de Ciências, 2008 Esta dissertação foi elaborada com o objectivo de obter o grau de Mestre em Matemática para o Ensino, pela Universidade de Lisboa. O nosso principal objectivo é mostrar como se pode fazer um estudo unificado das geometrias não euclidianas planas (elíptica e hiperbólica) por meio da geometria projectiva. Assim, depois de analisarmos no primeiro capítulo os sistemas axiomáticos mais vulgares (o sistema de Hilbert e a axiomática métrica de Birkhoff), mostramos que o referido estudo unificado não pode ser feito nestes sistemas. No segundo capítulo, estabelecemos os resultados fundamentais de geometria projectiva (sintética e analítica)que vamos utilizar para o estudo da geometria elíptica e da geometria hiperbólica nos dois capítulos seguintes. O estudo da trigonometria não euclidiana é o objectivo principal do quinto capítulo: estabelecemos as principais fórmulas que são utilizadas para a resolução de triângulos tanto no caso elíptico como no hiperbólico e abordamos brevemente a noção de área em geometria não euclidiana. No último capítulo, estudamos alguns modelos das geometrias não euclidianas que podem ser obtidos tirando partido da estrutura do espaço euclidiano tridimensional usual e, de uma forma breve, referimos extensões a dimensões superiores do estudo feito. No fim da dissertação, apresentamos dois apêndices contendo alguns resultados fundamentais sobre quaterniões e funções hiperbólicas. The current thesis was written aiming at obtaining the Master of Mathematics for Teaching Degree at Universidade de Lisboa. The main purpose of this work is to demonstrate that it is possible to carry out a unified study of plane (elliptic and hyperbolic) non-Euclidean geometries through projective geometry. Thus, in the first chapter, after having analysed the most usual axiomatic systems (Hilbert's system and Birkhoff's metric scheme) we will demonstrate that such a study cannot be performed through them. In the second chapter we will delve into the essential results of projective geometry (synthetic and analytic), which we will use for the study of elliptic and hyperbolic geometry in the next two chapters. Chapter five is a close examination of non- Euclidean trigonometry: we will ascertain the main formulas used for the resolution of triangles, both in the elliptic and the hyperbolic cases. We will also briefly state the notion of area in non- Euclidean geometry. In the last chapter we will study non Euclidean geometric models that can be obtained exploring the usual three-dimensional Euclidean space structure. We will shortly refer some extensions and superior dimensions of the current research. At the end there are two appendixes which contain some elemental data on quaternions and hyperbolic functions.