Teorema da estrutura de Furstenberg: demonstração e redução ao nível Www

• Author(s): Pinto, Pedro Miguel dos Santos
• Date: 2013
• Persistent ID: http://hdl.handle.net/10451/10364
• Origin: Repositório da Universidade de Lisboa
• Subject(s): Teoria Ergódica; Teorema da estrutura de Furstenberg-Zimmer; Teorema de Szemerédi; Construtividade; Teses de mestrado - 2013
• Document Type: Master Thesis
• Language: Portuguese
• Advisor(s): Ferreira, Fernando, 1958-; Duarte, Pedro Miguel Nunes da Rosa Dias

Description

Tese de mestrado em Matemática, apresentada à Universidade de Lisboa, através da Faculdade de Ciências, 2013 Esta dissertação tem como tema principal apresentar a prova do Teorema da Estrutura de Furstenberg-Zimmer, que tem como consequência o Teorema de Furstenberg e o seu equivalente de Teoria dos Números, o Teorema de Szemerédi. Começamos por verificar casos particulares, de resolução mais simples, onde o Teorema de Furstenberg é válido: os sistemas weak-mixing e os sistemas compactos. Prossegue-se para uma relativização das propriedades anteriores e mostramos que é sempre possível obter uma sequência transfinita crescente de sistemas satisfazendo o Teorema de Furstenberg, culminando em toda a generalidade no Teorema da Estrutura. Numa segunda parte, iremos mostrar que não necessitamos de toda a força do Teorema da Estrutura para conseguirmos concluir o Teorema de Furstenberg: de facto ao nível ordinal www estamos já em condições suficientes para provar o teorema. Concluímos com algumas considerações sobre a construtividade do Teorema da Estrutura e do Teorema de Szemerédi. The main subject of this dissertation is to present a proof of the Furstenberg-Zimmer Structure Theorem, from which one can obtain Furstenberg's Theorem and its equivalent number-theoretical version that goes by the name of Szemerédi's Theorem. We start by checking simpler particular cases where the Furstenberg's theorem is true, namely for weak-mixing systems and compact systems. We then proceed to a relativization of the previous properties and show that it is always possible to obtain a transfinite sequence of increasing systems satisfying Furstenberg's theorem, culminating in the most general case, the Structure's Theorem. In a second part, we will show that we do not need the full strength of the Structure Theorem in order to obtain Furstenberg's Theorem: at the ordinal level www we are already able to prove the theorem. We conclude with some considerations about constructivity regarding both the Structure's Theorem and Szemerédi's Theorem.