Author(s):
Rosário, Pedro Alexandre Gonzaga 
Date: 2013
Persistent ID: http://hdl.handle.net/10451/10355
Origin: Repositório da Universidade de Lisboa
Subject(s): Teoria dos valores extremos; Método dos máximos anuais; Método POT; Método das maiores observações; Abordagem semi-paramétrica; Precipitação; Teses de mestrado - 2013
Description
Tese de mestrado em Estatística e Investigação Operacional, apresentada à Universidade de Lisboa, através da Faculdade de Ciências, 2013 A Teoria de Valores Extremos (EVT) focou inicialmente a sua atenção no estudo do comportamento do máximo de sucessões de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.). A publicação do Teorema de Tipos Extremais por Leonard Tippett, Sir Ronald Fisher e Boris Gnedenko, na primeira metade do século XX, permitiu concluir que esse comportamento pode ser bem modelado por uma das três distribuições max-estáveis - Gumbel, Fréchet e Weibull. Von Mises e Jenkinson definiram que a classe de distribuições max-estáveis pode ser expressa por uma única expressão, a distribuição Generalizada de Valores Extremos (GEV), dependente de apenas um único parâmetro, a menos de localização e escala, designado por Índice de Valores Extremos (EVI) e que dá a forma da distribuição.
A inferência estatística acerca de acontecimentos raros poderá, por exemplo, ser feita por dois caminhos: as abordagens paramétrica e semi-paramétrica. Na primeira metodologia supõe-se que há um modelo paramétrico que se ajusta à amostra de observações i.i.d. Existem alguns métodos neste tipo de abordagem, por exemplo, o Método dos Máximos Anuais, o Método POT (Peaks over Threshold) e o Método das Maiores Observações. Já a abordagem semi-paramétrica, pressupõe apenas que a distribuição subjacente aos dados em estudo pertence a algum domínio max-estável, mas não é proposto nenhum modelo paramétrico. O objetivo principal prende-se com a estimação do EVI, que será
feita selecionando as observações da amostra que se encontram acima de um determinado nível aleatório (Peaks-Over-Random-Threshold - PORT). A EVT é cada vez mais aplicada em diversas áreas, sendo a hidrologia uma delas. Neste campo é fundamental ter o conhecimento sobre precipitação elevada, a sua duração e intensidade. O planeamento de estratégias de impacto-contenção de inundações, principalmente em áreas densamente povoadas, bem como o desenvolvimento de estruturas hidroelétricas, são alvo da análise e modelação deste tipo de acontecimentos extremos. Nesta tese será aplicada uma análise em valores extremos a uma amostra de níveis pluviométricos de Barcelos. Serão usadas as duas metodologias mencionadas anteriormente, com o objetivo de descrever e prever o comportamento de níveis elevados de precipitação, nesta cidade. Em particular, serão estimados quantis extremais, níveis de retorno, períodos de retorno, probabilidades de excedência e limite superior do suporte. Na abordagem paramétrica serão usados os métodos de máxima verosimilhança e dos momentos ponderados de probabilidade para a estimação pontual, e o método profile log-likelihood para a estimação intervalar. Extreme Value Theory (EVT) deals with the stochastic behavior of the extreme values in a process. The behavior of the maxima of independent and identically distributed (i.i.d.) random variables can be described by the three max-stable distributions - Gumbel, Fréchet and Weibull - as suggested by Leonard Tippet, Sir Ronald Fisher and Boris Gnedenko (1928). Von Mises and Jenkinson defined the Generalized Extreme Value (GEV) distribution, which comprises the three extreme value distributions, depending on the value of the shape parameter, called Extreme Value Index - EVI. There are different ways of mapping observations of a rare event yielding alternative approaches to statistical inference on extreme values: the parametric and the semiparametric methods. In a parametric approach, the main assumption regards the existence of a suitable class of models for describing the random variable attached to the process that is generating the data under study. There are different methods in this approach as the Block of Annual Maxima method, the Peaks-Over-Threshold (POT) method and the Largest Observations method. Following a semi-parametric approach, the only assumption made is that the underlying distribution function belongs to the max-domain of attraction of some extreme value distribution. The primary goal is to estimate the EVI. In this method, all the inference is based on a portion of the sample above a random level to be determined (Peaks-Over-Random-Threshold - PORT).
EVT can be applied to several areas. One of these is hydrology. Precipitation extremes, their duration and their intensity are of interest in the field of hydrology. The planning of food impact-curbing strategies, especially in highly populated areas, as well as the development of hydroelectric structures, is closely linked to the analysis and modelling of this type of extreme event. This thesis provides the application of extreme value analysis to rainfall data collected at Barcelos. The previous two approaches are applied to the data to describe the extremes of rainfall and to predict its future behavior. In particular, estimates are given for extreme quantiles, return levels, return periods, exceedance probability and right endpoint. In the parametric approach, it will be used the maximum likelihood or probability weighted moments methods for estimation and the profile log-likelihood method for the corresponding confidence intervals.
